依据我国相关法律的规定，劳动监督部门接到劳动者拖欠工资的投诉后，劳动监察部门应该自立案之日起60个工作日内完成。

《劳动保障监察条例》

第十七条劳动保障行政部门对违反劳动保障法律、法规或者规章的行为的调查，应当自立案之日起60个工作日内完成;对情况复杂的，经劳动保障行政部门负责人批准，可以延长30个工作日。

第二十条违反劳动保障法律、法规或者规章的行为在2年内未被劳动保障行政部门发现，也未被举报、投诉的，劳动保障行政部门不再查处。

前款规定的期限，自违反劳动保障法律、法规或者规章的行为发生之日起计算;违反劳动保障法律、法规或者规章的行为有连续或者继续状态的，自行为终了之日起计算。