当事人一般不可以在发生劳动争议后同时申请劳动仲裁和向劳动监察大队投诉的。劳动监察部门发现案件已经申请劳动仲裁的，要告知当事人按劳动仲裁程序处理；而当事人向有关部门请求权利救济，仲裁时效中断，从中断时起，仲裁时效期间重新计算。

劳动仲裁如何申请

劳动仲裁申请流程。1、提交劳动仲裁申请书，包括劳动者的基本信息、用人单位的基本信息、仲裁请求及事实理由、证据及证据来源等；2、由仲裁委员会决定是否受理当事人申请，无论受理与否，都将通知当事人；3、由仲裁委员会进行调解，如调解不成根据相关案件就当事人责任进行裁决。仲裁委员会不受理或者逾期没有作出决定的劳动争议，当事人可向人民法院提起诉讼。

《劳动争议调解仲裁法》第二十七条

劳动争议申请仲裁的时效期间为一年。仲裁时效期间从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。

前款规定的仲裁时效，因当事人一方向对方当事人主张权利，或者向有关部门请求权利救济，或者对方当事人同意履行义务而中断。从中断时起，仲裁时效期间重新计算。

因不可抗力或者有其他正当理由，当事人不能在本条第一款规定的仲裁时效期间申请仲裁的，仲裁时效中止。从中止时效的原因消除之日起，仲裁时效期间继续计算。

劳动关系存续期间因拖欠劳动报酬发生争议的，劳动者申请仲裁不受本条第一款规定的仲裁时效期间的限制；但是，劳动关系终止的，应当自劳动关系终止之日起一年内提出。