医疗事故纠纷中患者和医院各承担的举证责任为，患方应当就医疗机构实施了侵权行为；造成了损害后果；侵权行为与损害后果之间存在因果关系；侵权行为存在过错举证。医方的举证责任在于依照法律规定推定医疗机构存在过错的，医疗机构应当证明自己没有过错。

一、关于侵权责任的举证责任

在一般情况下，侵权责任的举证责任由被侵权人承担，但如果侵权行为所涉案件适用举证责任倒置的，则由侵权人承担不具有因果关系或者有免责事由的举证责任。如在环境污染侵权纠纷中，侵权人就法律规定的不承担责任或者减轻责任的情形及其行为与损害之间不存在因果关系承担举证责任。

二、医疗损害鉴定由谁申请

根据《最高人民法院关于审理医疗损害责任纠纷案件适用法律若干问题的解释》第四条的规定，医疗损害责任纠纷案件的举证责任按照过错责任的一般要求，患者主张医疗机构承担诊疗过错赔偿责任的，应当提交到该医疗机构就诊、受到损害的证据。

患者无法提交医疗机构及其医务人员有过错、诊疗行为与损害之间具有因果关系的证据，依法提出医疗损害鉴定申请的，人民法院应予准许。

因此，医疗损害鉴定一般由患者申请。

三、医疗纠纷诉讼中应该如何举证

根据我国相关司法解释可以知道，在医疗纠纷诉讼中，原告与被告双方都应当承担举证责任。具体规则，包括下面两点：

第一，患者作为原告，应当承担初步的举证责任。患者应当证明自己与医院存在医疗服务合同关系，并且已经接受了医院的治疗，因此产生的损害后果。对此，患者可以提供病例本、缴费记录等，作为证据予以证明；

第二，医院作为被告，应当举证证明自己的医疗行为与患者的损害之间不存在因果关系，同时也应当证明自己的医疗行为不存在过错。如果无法提供证据予以证明，或者证据不足以证明的，法院将依法推定医院的医疗行为与患者的损害之间存在因果关系。同时法院将推定医院的行为存在过错，由此医院将存在败诉的风险。