首先回答你标题的提问，工伤保险和交通事故赔偿可否兼得的答案是可以兼得。

1.工伤赔偿依据:

为了保障劳动者尤其是因工作遭受事故伤害或者患职业病的职工的合法权益，国务院颁布了《工伤保险条例》，规定设立工伤保险基金，用人单位应参加工伤保险，为本单位所有职工缴纳工伤保险费，工伤职工享受工伤保险待遇。

《工伤保险条例》第14条规定，职工有下列情形之一的，应当认定为工伤：

（1）在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的；

（2）工作时间前后在工作场所内，从事与工作有关的预备性或者收尾性工作受到事故伤害的；

（3）在工作时间和工作场所内，因履行工作职责受到暴力等意外伤害的；

（4）患职业病的；

（5）因工外出期间，由于工作原因受到伤害或者发生事故下落不明的；

（6）在上下班途中，受到机动车事故伤害的；

（7）法律、行政法规规定应当认定为工伤的其他情形。

《工伤保险条例》第15条规定，职工有下列情形之一的，视同工伤：

（1）在工作时间和工作岗位，突发疾病死亡或者在48小时之内经抢救无效死亡的；

（2）在抢险救灾等维护国家利益、公共利益活动中受到伤害的；

（3）职工原在军队服役，因战、因公负伤致残，已取得革命伤残军人证，到用人单位后旧伤复发的。

另外，《工伤保险条例》规定，职工因犯罪、违反治安管理伤亡的，或者因醉酒导致伤亡的，或者自残、自杀的，不得认定为工伤或者视同工伤。

分析如下：你并没有讲明你所发生的交通事故是否在工作时间或工作任务所产生的，在这一块你必须要举证，如果你被认定为工伤，无论交通赔偿与否，都应享受工伤待遇。你可以向单位所在地的劳动保障部门申请工伤认定。在工伤认定过程中，如果所在单位仍然对你的工伤持有异议，根据规定，用人单位应承担举证责任。

2.从没有听说过十级伤残，可以向公司索要二十四个月工资，这个你必须要问清楚.没有依据的事情，向谁请求都没有用.但是工伤赔偿与交通事故赔偿并不冲突，若有依据的，可以同时向对方索赔.

3.鉴定不会因为你恢复的好而不作认定，但是假若有十级伤残，一定是要指恢复后仍无法达到正常人.而不是当时受伤不能使用而认定.我依你的描述，对这一块有点误解，十级是伤残等级最轻的，赔偿往往也很少.

4.你现在可以向公司提出工伤赔偿，但我个人意见认为，公司仅会赔偿你医疗费，后续治疗费，受伤期间的工资(注意，这一般只是基本工资或是当地最低工资标准)，还有一些简单的费用.劳动仲裁委员会及法院一般也只会支持到这些而已.

最后，祝你好运!及早索赔成功。