私生子母亲可以放弃监护权。根据《中华人民共和国民法典》规定，离婚后，一方抚养的子女，另一方应当承担必要的生活费和教育费的一部分或者全部，费用的数额和期限由双方约定；协议不成的，由人民法院判决。关于子女生活费和教育费的协议或判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或判决原金额的合理要求。

法定监护人能放弃监护权吗？

父母作为法定监护人不可以放弃监护权。

根据法律规定，父母是未成年人的监护人，对子女抚养教育是父母的义务。

除依法撤销监护权外，不得放弃监护权。

父母作为未成年人的监护人应当学习家庭教育知识，正确履行监护职责，抚养教育未成年人。

父母不履行监护职责或者侵害被监护的未成年人的合法权益，

经教育不改的，人民法院可以根据有关人员或者有关单位的申请，撤销其监护人的资格，依法另行指定监护人。

《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。

前款规定的协议或者判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或者判决原定数额的合理要求。