父母不可以放弃对孩子的监护权，因为父母是未成年子女的法定监护权，享有监护的权利同时承担监护、抚养、教育和保护孩子的义务，监护权是不能放弃的。

一、监护权一人可以一半吗

离婚后孩子的监护权并不可以一人一半，因为父母对孩子都有完整的监护权。但如果父母死亡或丧失监护能力的除外。根据相关法律规定，父母是未成年子女的监护人。未成年人的父母已经死亡或者没有监护能力的，由祖父母、外祖父母，兄、姐等人按顺序担任监护人。

二、共同抚养权的利弊是什么

双方共同监护的优点是，如果夫妻离婚后仍共同拥有监护权，传统的一方享有监护权，另一方只承担支持义务的传统做法所隐含的不公平将被废除。缺点是对方可能在子女重大事项上故意不合作。父母与子女的关系不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论是由父母直接抚养还是由父母双方抚养，父母仍有抚养、教育和保护子女的权利和义务。

三、离婚一方没有对孩子有抚养权怎么办？

根据我国法律规定，一般情况下，父母是未成年子女的法定监护人。离婚后，父母双方对未成年子女的监护权不变，任何一方均要履行抚养教育子女的权利与义务。因此，监护权不因离婚而丧失，相反，未获得抚养权的一方应当支付抚养费，通过行使探视权等间接地实现监护权。