单位名称变更后，劳动合同的签订日期还可以是原来的日期。

根据《劳动合同法》第三十三条规定，用人单位变更名称、法定代表人、主要负责人或者投资人等事项，不影响劳动合同的履行。

第三十五条规定，用人单位与劳动者协商一致，可以变更劳动合同约定的内容。变更劳动合同，应当采用书面形式。

变更后的劳动合同文本由用人单位和劳动者各执一份。

营业单位名称变更

（一）隶属企业（单位）法定代表人签署的《营业单位变更登记申请书》（原件1份）；

（二）经办人身份证明（复印件1份，验原件）；由企业登记代理机构代理的，同时提交企业登记代理机构营业执照（复印件1份，须加盖本企业印章，并注明与原件一致）；

（三）企业申请登记委托书（原件1份）（可在申请书内填写）；

（四）营业单位《营业执照》正本（原件）和全部副本（原件）；

（五）因隶属企业（单位）名称变更而变更营业单位名称的，提交隶属企业（单位）登记机关出具的名称变更证明（复印件1份，须加盖隶属企业公章，并注明与原件一致）。

《劳动合同法》第三十三条

用人单位变更名称、法定代表人、主要负责人或者投资人等事项，不影响劳动合同的履行。

第三十五条

用人单位与劳动者协商一致，可以变更劳动合同约定的内容。变更劳动合同，应当采用书面形式。

变更后的劳动合同文本由用人单位和劳动者各执一份。