依据我国相关法律的规定，可以向最高人民检察院提请监督的情形包括案件事实不清、证据不足，依法应当发回重新审判或者改判的等。

《人民检察院刑事诉讼规则》

第六百零四条省级人民检察院对于进入最高人民法院死刑复核程序的案件，发现具有下列情形之一的，应当及时向最高人民检察院提请监督：

(一)案件事实不清、证据不足，依法应当发回重新审判或者改判的;

(二)被告人具有从宽处罚情节，依法不应当判处死刑的;

(三)适用法律错误的;

(四)违反法律规定的诉讼程序，可能影响公正审判的;

(五)其他应当提请监督的情形。

死刑复核程序的方式

死刑复核程序是人民法院对判处死刑的案件进行复查核准所遵循的一种特别审判程序。死刑是剥夺犯罪分子生命的刑罚，是刑法所规定的诸刑种中最严厉的一种，称为极刑。

在死刑复核权回收之后，应当根据诉讼的规律设计完善死刑复核程序，尽管其不同于一审、二审程序，但可以进行诉讼化改造。可以根据案件的情况采用以下两种方式：

一是对于判处死刑的第一审案件，被告人不上诉、人民检察院不抗诉的，以及虽然提出了上诉或者抗诉，但不是针对事实认定而是针对法律适用或程序问题的案件，法院可以采用非开庭的方式进行审理，但即使非开庭审理仍必须包括审查书面卷宗材料、讯问被告人和听取公诉机关、辩护人的意见等内容;

二是对于一审判处死刑后被告人提出上诉或者检察机关提出抗诉，并且是针对事实认定提出的案件，法院应当采用开庭审理的方式，即在确定的时间吸收检察机关、被告人、辩护人以及其他必须参加的诉讼参与人共同参与复核程序。操作方式上可以采取形式面对面的直接审理和通过互联网进行的远程审理两种方式。实行开庭审理，可以保证控辩双方有效的参与到庭审过程中，特别是辩方可以有机会充分行使辩护权，同时也便于检察机关对法院的审判活动实施有效的法律监督。不论是哪种审理方式，均应由3名以上单数法官组成合议庭进行审理。对于疑难、复杂、重大案件，可以经合议庭提请由审判委员会开庭审理。