工人在工作场所的休息住所内发生突然性的健康问题最终导致猝死的情况下，一般的处理方式是他们应该自行承担相应的责任，而雇主会对其家属给予适当的经济补助。

然而，如果该名农民工是在类似工地的住宿环境中不幸因突发性疾病离世的话，那么这不被视为工伤事故，无法按照相关法律规定通过工伤保险来获取相关赔偿金。

因此，在这种情况下，雇主通常应给予其家庭成员一些经济上的补助以示慰问和关怀。

《工伤保险条例》第十四条

职工有下列情形之一的，应当认定为工伤：

（一）在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的；

（二）工作时间前后在工作场所内，从事与工作有关的预备性或者收尾性工作受到事故伤害的；

（三）在工作时间和工作场所内，因履行工作职责受到暴力等意外伤害的；

（四）患职业病的；

（五）因工外出期间，由于工作原因受到伤害或者发生事故下落不明的；

（六）在上下班途中，受到非本人主要责任的交通事故或者城市轨道交通、客运轮渡、火车事故伤害的；

（七）法律、行政法规规定应当认定为工伤的其他情形。