外婆没有监护权，孩子的监护权应该属于父亲。所以父亲和祖母争夺孩子的监护权，孩子的监护权应该归父亲所有。但不直接抚养子女的母亲有权探望子女，父亲有义务协助。

根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十四条第三款，离婚后，不满两岁的子女由母亲直接抚养。父母双方未就抚养问题达成协议的，由人民法院根据双方的具体情况和最有利于未成年子女的原则判决。孩子已经八岁了，应该尊重真实意愿。

一、老公出轨离婚孩子怎么办

老公出轨离婚的，孩子不满两周岁的，以由母亲直接抚养为原则。如果母亲患病不适宜让孩子随自己生活，而父亲又愿意抚养孩子的，则父亲可以获得孩子的所有权。已满两周岁的子女，父母双方对抚养问题协议不成的，由人民法院根据双方的具体情况，按照最有利于未成年子女的原则判决。子女已满八周岁的，应当尊重其真实意愿。

二、没有抚养权和监护权有什么区别

有监护权没有抚养权一般是指夫妻离婚后，不直接抚养孩子的一方不具有孩子的抚养权，但是依然有孩子的监护权的情况。夫妻离婚后，与子女共同生活的一方无权取消对方对该子女的监护权。根据2021年实施的《民法典》第一千零八十四条第三款规定，离婚后，不满两周岁的子女，以由母亲直接抚养为原则。已满两周岁的子女，父母双方对抚养问题协议不成的，由人民法院根据双方的具体情况，按照最有利于未成年子女的原则判决。子女已满八周岁的，应当尊重其真实意愿。