对超期羁押进行投诉的部门应是法院所在地的纪检监察部门，也可以向当地法院的检察部门监所检察科或民行科举报，或者直接向法院的上一级部门进行投诉。犯罪嫌疑人、被告人被超期羁押的，有权申请国家赔偿。超期羁押投诉的具体部门是的法律依据

《刑事诉讼法》第九十九条

人民法院、人民检察院或者公安机关对被采取强制措施法定期限届满的犯罪嫌疑人、被告人，应当予以释放、解除取保候审、监视居住或者依法变更强制措施。

犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或者辩护人对于人民法院、人民检察院或者公安机关采取强制措施法定期限届满的，有权要求解除强制措施。

《中华人民共和国刑事诉讼法》（2018修正）：第六章　强制措施　　第九十九条　人民法院、人民检察院或者公安机关对被采取强制措施法定期限届满的犯罪嫌疑人、被告人，应当予以释放、解除取保候审、监视居住或者依法变更强制措施。犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或者辩护人对于人民法院、人民检察院或者公安机关采取强制措施法定期限届满的，有权要求解除强制措施。