如果双方是以同居的名义生活在一起，一方死亡后，另一方是否可以以配偶的身份继承该遗产的情况不能一概而论，要分情况来讨论。如果同居双方是属于事实婚姻，确定实际的夫妻关系，那么一方死亡，另一方是可以按照遗产继承顺序继承遗产的。但是双方没有确定实际的婚姻关系，属于非法同居的情况，那么是不能以配偶的身份继承遗产的。

对于非法同居，我国法律上没有规定要进行处罚。但是非法同居在没有得到国家的法律认可的情况下，也就没有了相应的民法典律效力来保障自己的利益，就比如在遗产继承中，非法同居的人是没有权利去继承遗产的。还有些特殊的情况，比如被继承人的遗嘱里要求把遗产过继给同居配偶的，那么应该依照被继承人的遗嘱来分配遗产，再比如如果被继承人在世时收到同居的人的照顾比较多，那么也可以适当分一点遗产给该同居的人。

这里还有一个概念就是遗嘱继承人，顾名思义，就是执行遗嘱的人，但是首先执行遗嘱的人得有权利执行遗嘱才能成为合法的遗嘱执行人。根据我国相关法律规定，遗嘱执行人是由留下遗嘱的人指定的。执行遗嘱的人需要按照留下遗嘱的人想法和意愿去执行遗嘱里的内容，做好自己的本职工作。如果指定的执行遗嘱的人是属于法律法规上规定的继承人的话，那么此执行遗嘱的人是不能拒绝执行遗嘱的。如果不是法律法规上规定的人的话，那么只有被指定的执行人同意接受执行此遗嘱，才会成为合法的执行遗嘱的人。也就是说，如果是没有事实婚姻关系的同居者，在被继承者的指定下是可以成为遗嘱执行人的。