第一法定监护人放弃抚养费不可以。法定监护人可以放弃索要抚养费的权利，但是不可以放弃支付抚养费的义务。离婚后，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。不直接抚养子女的一方，需要负担部分或者全部抚养费。

根据2021年实施的《民法典》第一千零八十五条的规定，离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。

前款规定的协议或者判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或者判决原定数额的合理要求。

法定监护人可以不是第一人吗

法定监护人可以不只一人，父母双方就是法定监护人；未成年人的父母已经死亡或者没有监护能力的，有监护能力的祖父母、外祖父母、兄姐可以成为其监护人；其他愿意担任监护人的个人或者组织，但是须经未成年人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门同意。

《民法典》第一千零八十五条

离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。

前款规定的协议或者判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或者判决原定数额的合理要求。