不能。在《劳动合同法》中规定员工在怀孕期间是不能被辞退的，除非员工被追究刑事责任，而未婚先孕并非犯罪。如果单位以此辞退员工的话，那么员工可以要求单位支付赔偿金，即双倍经济补偿。

依据《劳动合同法》

第八十七条用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

根据《中华人民共和国劳动法》第29条的规定，劳动者有下列情形之一的，用人单位不得解除劳动合同：

(1)患职业病或者因工负伤并被确认丧失或者部分丧失劳动能力的。

劳动者患职业病或因公负伤，是否丧失或部分丧失劳动能力，需要经过劳动鉴定委员会的鉴定，被确认为已丧失或部分丧失劳动能力，用人单位方不得解除劳动合同。

(2)患病或者负伤，在规定的医疗期内。

这里的负伤指非因公负伤。对患病或者负伤，我国法律规定允许劳动者有一定的治疗期。例如，根据《国营企业实行劳动合同制暂行规定》(1986年7月12日国务院发布)第21条的规定，企业对患病或非因公负伤的职工，应当按照其在本单位工作时间的长短，给予3个月至1年的医疗期，在本单位工作20年以上的，医疗期可以适当延长。在上述医疗期内，用人单位不得解除劳动合同。如果合同到期，则应顺延到医疗期满。

(3)女职工在孕期、产期、哺乳期内的，用人单位不得解除劳动合同。

劳动者在孕期、产期和哺乳期内，劳动合同期限届满时，用人单位不得终止劳动合同。劳动合同的期限应自动延续至孕期、产期和哺乳期期满为止。

(4)法律、行政法规规定的其他情形。

一、公司可以辞退员工的情形

员工有下列情形之一的，用人单位可以随时解除劳动合同：

(1)在试用期内被证明不符合录用条件；

(2)严重违反劳动纪律或者用人单位规章制度；

(3)严重失职，营私舞弊，对用人单位利益造成重大损害；

(4)被依法追究刑事责任。