生母与继父离婚后继父不是一定应该承担子女抚养费的。如果生母与继父离婚，且子女不再与继父共同生活的，该子女与继父之间的拟制血亲关系解除，继父无需再承担子女的抚养费。如果子女继续与继父共同生活的，继父应当承担子女的抚养费。

一、孩子不是自己的能够争取抚养权吗

孩子不是自己的，当事人能够争取抚养权。以继子女为例，生父与继母或生母与继父离婚时，对曾受其抚养教育的继子女，继父或继母不同意继续抚养的，一般仍应由生父母抚养。但是如果继父母明确表示愿意抚养继子女的，继子女也愿意让继父母抚养的，则法院也可以直接把子女判给该方抚养。

二、非婚生子女归谁抚养

根据我国法律规定，对非婚生子女的抚养应遵循这样一个原则：非婚生子女同婚生子女一样，同是父母双方的子女，应由父母双方共同承担抚养教育的义务。

实践中，有这样几种情况：

1、非婚生子女由生母实际抚养，非婚生子女的生父应负担子女必要的生活费和教育费的一部或全部，直至子女能独立生活为止。

2、非婚生子女的生母与他人结婚的，若继父愿意负担子女的生活费和教育费的一部或全部的，则生父的抚养费和教育费可酌情减少或免除。若继父不愿意负担，则生父应支付的抚育费不能减免。

3、当非婚生子女的生父母将孩子送与他人收养时，那么孩子与收养人之间形成法律拟制的父母子女关系，这时，非婚生子女由养父母抚养，其与生父母之间的权利义务关系解除，其生父母不再负担抚养义务。

4、非婚生子女的生父要求子女与其共同生活，即要求实际抚养子女时，可与子女的生母协商解决。协商不成，可请求法院作出处理。

三、如何认定孩子是否与继子女有扶养关系？

与继子女的抚养关系的界定可以参照下列标准：

1、继子女的生父或生母与继父或者继母再婚时继子女尚未成年；

2、继子女在生父或生母再婚后与继父或者继母共同生活，继父母或者继母对继子女进行了抚养；或者继父或者继母没有与继子女共同生活，但承担了继子女全部或部分抚养费用。形成抚养关系的继子女，属于第一顺位继承人。