正确的程序是：

用人单位提前一个月通知合同到期人员，征询他们是否愿意续签劳动合同，如果愿意，则签订新的劳动合同。如果不愿意，旧的劳动合同的期限到期时，合同自然终止。老员工也可以在劳动合同到期前，与用人单位协商续签劳动合同。

员工劳动合同备案流程

1、按属地原则，分级管理原则，用人单位向当地的人力资源与社会保障局提交资料。2、用人单位提交营业执照、组织机构代码证、录用登记手续和劳动者与其他劳动单位不存在劳动关系的证明、用人单位与劳动者签订劳动合同书（一式两份）3、人力资源与社会保障局劳动关系科审查后，在劳动合同书上加盖“劳动合同备案”专用章。4、用人单位和劳动者各执一份，劳动合同生效。

《中华人民共和国劳动合同法》

第三条订立劳动合同，应当遵循合法、公平、平等自愿、协商一致、诚实信用的原则。依法订立的劳动合同具有约束力，用人单位与劳动者应当履行劳动合同约定的义务。

第十条建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。用人单位与劳动者在用工前订立劳动合同的，劳动关系自用工之日起建立。

第三十六条用人单位与劳动者协商一致，可以解除劳动合同。