一、员工工龄超过10年合同到期，企业没有签劳动合同违法吗

当连续工作时间长达十年且劳动合同届满之时，若用人单位选择不再续订，这无疑将构成违法行为。

在这种情况下，劳动者有权利向雇主提出签订无固定期限劳动合同的要求，倘若雇主依然拒绝，那么劳动者则有权向当地劳动部门进行投诉或者发起劳动仲裁以维护自身合法权益。

在此类未履行续签劳动合同义务的案例中，雇主应当根据相关规定向劳动者支付相应的经济补偿金，具体计算方式为每满一年给予一个月工资收入的补偿。

《中华人民共和国劳动合同法》第十四条

无固定期限劳动合同，是指用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同。

二、给公司发电子邮件的续签无固定期限劳动合同可以吗

无固定期限劳动合同，乃是用人单位与员工协商订立的取消了明确终止期限的劳动合意。

此处所述的“无确定终止时间”，并非意旨劳动合同缺乏如期终止之日期，而是指劳动合同的有效期长短无法预知，然而这并不意味着其所包含的权利和义务将永恒不变。

在不违反任何现行法律法规或双方签署的劳动合同条款的情况下，双方当事人需始终履行为合同赋予的权利和义务。

待法律规定的特定情形成为现实时，无固定期限劳动合同亦能适时解除。

《中华人民共和国劳动合同法》（2012修正）：第八章　附则　　第九十七条　【过渡性条款】本法施行前已依法订立且在本法施行之日存续的劳动合同，继续履行；本法第十四条第二款第三项规定连续订立固定期限劳动合同的次数，自本法施行后续订固定期限劳动合同时开始计算。\n本法施行前已建立劳动关系，尚未订立书面劳动合同的，应当自本法施行之日起一个月内订立。\n本法施行之日存续的劳动合同在本法施行后解除或者终止，依照本法第四十六条规定应当支付经济补偿的，经济补偿年限自本法施行之日起计算；本法施行前按照当时有关规定，用人单位应当向劳动者支付经济补偿的，按照当时有关规定执行。