司法机关是这样办理刑事抗诉案件的：

1、最高人民检察院对各级人民法院、上级人民检察院对下级人民法院已发生法律效力的判决和裁定；如果发现确有错误，有权依法向同级人民法院提出抗诉；

2、地方各级人民检察院认为本级人民法院第一审的判决、裁定确有错误的时候，应当向上一级人民法院提出抗诉。

刑事抗诉书如何送达

由提出抗诉的下级人民检察院的上一级人民检察院制作支持刑事抗诉意见书，阐明支持或者部分支持抗诉的意见和理由，送达同级人民法院，同时通知提出抗诉的人民检察院；不支持抗诉的，应当制作撤回抗诉决定书，送达同级人民法院，并向提出抗诉的人民检察院书面说明撤回抗诉理由。

《刑事诉讼法》第二百二十八条

地方各级人民检察院认为本级人民法院第一审的判决、裁定确有错误的时候，应当向上一级人民法院提出抗诉。

第二百九十四条

人民法院应当将判决书送达被告人及其近亲属、辩护人。被告人或者其近亲属不服判决的，有权向上一级人民法院上诉。辩护人经被告人或者其近亲属同意，可以提出上诉。人民检察院认为人民法院的判决确有错误的，应当向上一级人民法院提出抗诉。