单位没有签订劳动合同，员工在离职后可以申请劳动仲裁要求单位支付未签订劳动合同期间的双倍工资，而单位没有缴纳社保，也可以要求单位支付解除劳动关系的经济补偿的。 单位和员工没有签订劳动合同，员工可以申请劳动仲裁，要求单位支付未签订劳动合同期间的双倍工资。 单位在员工入职一个月内未与员工签订劳动合同，员工是可以申请劳动仲裁要求单位支付未签订劳动合同期间的双倍工资的。如果超过一年未签订合同，那么默认为无固定期限劳动合同。 未签订劳动合同能要求支付双倍工资的时间为入职后的一年内。劳动仲裁的受理也是有时效性的，在受理以前一年内的劳动争议。所以要求单位支付双倍工资的时间应该为入职后一年内与仲裁受理的前一年内的重合部分。
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可以。缴纳社会保险费是用人单位和劳动者的法定义务，只要双方存在劳动关系，无论是否签订劳动合同，都应当缴纳。 没有签订劳动合同的应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。
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