根据劳动合同法的规定，劳动者入职一个月之内，用人单位必须与劳动者签订书面劳动合同，如果没有签订书面劳动合同的，应当支付劳动者双倍工资，满一年未签订劳动合同的视为签订了无固定期限劳动合同。劳动争议案件的诉讼时效为一年，现在你已经工作了九年，诉讼时效已过，所以你主张未签订劳动合同双倍工资差额将不会得到支持。但也正是因为单位没有跟你签订劳动合同，所以从你入职的第二年开始，就已经和单位实际上签订了一份无固定期限的劳动合同，在你没有重大违纪的情况下，单位是不能单方面和你解除劳动关系的。如果单位要当要解除劳动关系，需要先与你协商，协商一致之后方可解除劳动合同，并支付解除劳动合同经济补偿金，否则单位将是违法解除，需要支付两倍的经济补偿金，即违法解除劳动合同赔偿金。当然，如果单位没有为你缴纳社保，你也可以以此为由向单位提出离职，单位仍需要支付你解除劳动合同经济补偿金。如果你需要单位为你补缴社保的话，因补交社保而产生的纠纷，劳动仲裁和法院均不予受理，所以你只能向劳动监察部门投诉。
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劳动者在没有签劳动合同时想辞职的，是可以的。劳动者可以提前三十日以书面形式告知其所在的用人单位；如果还在试用期内的，可以提前三日以书面或口头形式告知其所在的单位。
没有离职可以和新公司签劳动合同，不过合同入职时间签到离职之后就可以，离职后再到新单位入职。提供原来单位出具的解除劳动合同证明，正规单位不会在你没离职证明情况下招用，免得有纠纷。
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