抚养权争夺不能一直起诉，因为我国司法制度是两审终审制。人民法院对抚养权案件作出判决后，如果是一审判决的，判决书自送达到当事人15天后生效，当事人不服的可以在十五日内向上一级人民法院提起上诉。如果是二审判决书，自作出后生效。

对孩子抚养权有争议怎么处理

一、未满两周岁的子女，由母亲直接抚养；已满两周岁的子女，应由父母双方协商，协商不成的可以提请人民法院根据实际情况，并按照最有利于未成年子女成长的原则进行判决。

二、已满八周岁的子女，应当尊重其意愿。无论夫妻双方婚姻关系如何，父母对子女都有抚养、教育、保护的权利与义务。

《中华人民共和国民事诉讼法》第一百六十四条

当事人不服地方人民法院第一审判决的，有权在判决书送达之日起十五日内向上一级人民法院提起上诉。当事人不服地方人民法院第一审裁定的，有权在裁定书送达之日起十日内向上一级人民法院提起上诉。

第一百七十五条

第二审人民法院的判决、裁定，是终审的判决、裁定。