购房者支付首付后何时签署合同，没有明确的法律规定。双方当事人可以自行协商。根据《商品房销售管理办法》和《城市房地产开发经营管理条例》的规定，商品房销售时，当事人双方应当签订书面合同，合同应当载明商品房的建筑面积和使用面积、价格、交付日期、质量要求、物业管理方式以及双方的违约责任。

关于购房者支付首付后何时签署合同，没有明确的法律规定。具体签合同的时间，双方当事人可以自行协商。

根据《商品房销售管理办法》第十六条第一款的规定，商品房销售时，房地产开发企业和买受人应当订立书面商品房买卖合同。

根据《城市房地产开发经营管理条例》第二十七条的规定，商品房销售，当事人双方应当签订书面合同。合同应当载明商品房的建筑面积和使用面积、价格、交付日期、质量要求、物业管理方式以及双方的违约责任。

首付后多长时间签署合同？

根据我国《商品房销售管理办法》的规定，房地产开发企业进行商品房预售时，需向房地产管理部门申请《商品房预售许可证》，并在售楼广告中载明预售许可证书号。取得商品房预售许可证书后，房地产开发企业应当与购房人订立书面预售合同，自签约之日起30日内，向房地产管理部门办理商品房预售合同备案手续。因此，按照法律规定，商品房预售合同的签署时间应当在取得商品房预售许可证书后的30日内。

购房者支付首付后，可以与房地产开发企业自行协商签署合同的时间。根据《商品房销售管理办法》和《城市房地产开发经营管理条例》的规定，双方应当签订书面商品房买卖合同，载明商品房的建筑面积、使用面积、价格、交付日期、质量要求、物业管理方式以及违约责任。房地产开发企业在进行商品房预售时，需向房地产管理部门申请《商品房预售许可证》，并在售楼广告中载明预售许可证书号。取得商品房预售许可证书后，房地产开发企业应当与购房人订立书面预售合同，自签约之日起30日内，向房地产管理部门办理商品房预售合同备案手续。因此，按照法律规定，商品房预售合同的签署时间应当在取得商品房预售许可证书后的30日内。

《商品房销售管理办法》第十六条第一款

商品房销售时，房地产开发企业和买受人应当订立书面商品房买卖合同。

《城市房地产开发经营管理条例》第二十七条

商品房销售，当事人双方应当签订书面合同。合同应当载明商品房的建筑面积和使用面积、价格、交付日期、质量要求、物业管理方式以及双方的违约责任。