遗嘱真实性应这样举证证明：

1、遗嘱是否经过公证，公证处作为国家公权机关，公证处公证的遗嘱具有很高的法律效力；

2、遗嘱是否由被继承人亲自书写，如果是这样，可以在订立遗嘱的时间附近提供相关的笔迹，以证明遗嘱是被继承人的真实表达；

3、遗嘱中是否有相关的见证人，如果是代书遗嘱，相应的见证人可以证明被继承人立遗嘱的过程，进而证明遗嘱的真实性；

4、别的可以证明遗嘱真实性的材料，如与被继承人的聊天记录、视频材料等。只要能证明遗嘱符合被继承人的真实含义。

遗嘱真实性如何认定

1、自书遗嘱对真实性有异议的，可以向人民法院申请进行笔迹鉴定。根据我国法律的规定，自书遗嘱应当有本人亲自书写遗嘱的全部内容，并签名，写明年月日。笔迹鉴定与遗嘱人省钱的字迹相一致的，遗嘱为真实；2、代书遗嘱和打印遗嘱需要经过审查见证人是否适格。见证人主体不适格的，遗所里的遗嘱不合法。

《中华人民共和国民法典》第一千一百三十九条公证遗嘱由遗嘱人经公证机构办理。