女方私自生下来的孩子男方应该负责。女方私自生下来的孩子，属于非婚生子女，非婚生女子与婚生子女一样，享有相关权利，适用相关抚养权原则。男方可以与女方协商孩子抚养权的归属，也可以通过支付抚养费方式，履行抚养职责。若男方不承认女方私自生下来的孩子，孩子有权向人民法院提起诉讼，要求男方承担抚养义务。

抚养权是女方的男方抢孩子违法吗

抚养权是女方的，男方抢孩子是违法的。男方构成了拒不履行生效判决的行为，女方可以申请法院强制执行。但是强制执行的目标的通常是财物或行为，人身是否能作为执行目标，是有争议的。不管法院最终是否对人身采取强制执行，申请执行都是符合立案标准的。法院立案后，可以对被执行人进行批评劝导，被执行人仍拒不履行，法院可以依据妨害执行行为的有关规定处理，对其采取罚款、拘留等处罚措施，以促使其履行生效判决确定的义务。

《中华人民共和国民法典》第一千零七十一条非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。不直接抚养非婚生子女的生父或者生母，应当负担未成年子女或者不能独立生活的成年子女的抚养费。