可以的。

当乘客购买车票乘车时，其与运输公司之间已形成客运合同关系，运输公司应当根据合同内容履行义务。

对行李的赔偿责任在运输过程中旅客自带物品毁损、灭失，承运人有过错的，应当承担损害赔偿责任。旅客托运的行李毁损、灭失的，适用货物运输的有关规定。

因此，当乘客将自己的行李交给司机并告知其妥善保管时，运输公司的工作人员应当对其行李进行妥善保管。如果运输公司将该行李丢失，并且无法提出有力证据证明自己履行了妥善保管义务的，就应当承担赔偿责任。

相关法条

《中华人民共和国民法典》第八百二十四条

在运输过程中旅客随身携带物品毁损、灭失，承运人有过错的，应当承担赔偿责任。旅客托运的行李毁损、灭失的，适用货物运输的有关规定。