1、当诉讼中的当事人认为已经做出的裁判存在错误时，他们有权向更高一级的法院申请再审。对于涉及到众多当事人或其中一方为公民的案件，同样可以向原审判法院提出再审申请。根据《中华人民共和国民事诉讼法》第一百九十九条规定，当事人若对已生效的判决、裁定持有异议，可向上一级人民法院提交再审申请；而在涉及到众多当事人或双方均为公民的案件中，亦可向原审人民法院提出再审申请。在此过程中，当事人的再审申请并不影响判决、裁定的执行。

2、如果法院拒绝了当事人的再审申请或者未能在规定期限内做出裁决，当事人可以向人民检察院提出检察建议或抗诉请求。然而，当事人只能就同一事项向人民检察院提出一次检察建议或抗诉请求，不得重复提出。根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零九条规定，以下情况下，当事人可以向人民检察院提出检察建议或抗诉请求：（1）人民法院拒绝了当事人的再审申请；（2）人民法院未能在规定期限内对再审申请做出裁决；（3）再审判决、裁定存在明显错误。人民检察院应对当事人的申请在三个月内进行审查，并做出是否提出检察建议或抗诉的决定。因此，当事人不能就同一事项再次向人民检察院提出检察建议或抗诉请求。

《民诉法》第一百九十九条当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，认为有错误的，可以向上一级人民法院申请再审；当事人一方人数众多或者当事人双方为公民的案件，也可以向原审人民法院申请再审。当事人申请再审的，不停止判决、裁定的执行。