舅舅可以放弃孩子的抚养权。法律规定父母是孩子的法定抚养权人，孩子的舅舅没有义务对孩子有抚养的责任，是可以放弃孩子抚养权的。法定扶养人如果患有了严重疾病或无法再继续抚养孩子的情况是可以请求变更抚养权的，法院也会给予支持。

一、离婚后可以起诉孩子的抚养权吗

一般情况下，离婚后，可以起诉变更孩子的抚养权。但是起诉变更孩子抚养权的前提条件是，起诉方要符合变更条件。如果起诉方可以提供相关的证据来证明抚养孩子的一方患重疾病，或有伤残无力抚养孩子、对孩子不尽抚养义务、虐待孩子、不利于孩子身心健康等。那法院会支持变更抚养权。

二、离婚5年还可以要回孩子抚养权吗

离婚5年是可以要回孩子抚养权的。孩子抚养权归属的根本是这可以让孩子在有利的条件下生活成长。法律没有规定离婚时间和抚养权的关系，只说明了一方要求变更抚养权的条件，就是另一方患有严重疾病或虐待子女等一切不利于孩子成长生活的情形。双方父母可以先协商决定，协商不了的可以上诉法院。其实不管孩子的抚养权属于谁，父母双发都有责任并且有义务把他们抚养成人。

三、女方起诉离婚争取孩子抚养权吗

女方起诉离婚是否争取孩子抚养权根据具体情况而定。女方可以在起诉离婚时争取孩子的抚养权，也可以放弃孩子抚养权，但前提是男方愿意直接抚养孩子。如果男方因特殊情况无法抚养孩子，则只能由女方直接抚养。父母双方是孩子的直接抚养权人，不能放弃对孩子的抚养义务。如果双方都放弃孩子抚养权，可以到法院起诉，由法院判决一方直接抚养孩子。