根据所提供的内容，我们可以得知签订劳动合同的合同工不属于编制内，因此不能算作“体制内”。同时，国家机关、事业单位、社会团体也可以与劳动者签订劳动合同。另外，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，应当在一个月内签订书面劳动合同。

根据所提供的内容，我们可以得出这样的改写：

签订劳动合同的合同工不属于编制内，因此不能算作“体制内”。国家机关、事业单位、社会团体也可以与劳动者签订劳动合同。用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，应当在一个月内签订书面劳动合同。

哪些单位可以与劳动者签劳动合同？

根据《中华人民共和国劳动合同法》第四条规定，可以与劳动者订立劳动合同的单位包括：

1. 企业法人、其他社会组织；

2. 事业单位；

3. 非营利性组织；

4. 集体企业；

5. 社会团体；

6. 民办非企业单位；

7. 外商投资企业；

8. 外国企业常驻代表机构；

9. 外国政府驻华代表机构。

因此，以上这些单位都可以与劳动者签订劳动合同。同时，根据《劳动合同法》第六十九条规定，非全日制用工双方当事人可以订立口头协议。

根据所提供的内容，我们可以得出结论：签订劳动合同的合同工不属于编制内，但国家机关、事业单位、社会团体以及企业法人、其他社会组织、事业单位、非营利性组织、集体企业、社会团体、民办非企业单位、外商投资企业、外国企业常驻代表机构、外国政府驻华代表机构都可以与劳动者签订劳动合同。同时，根据《劳动合同法》第六十九条规定，非全日制用工双方当事人可以订立口头协议。

《中华人民共和国劳动合同法》第二条

中华人民共和国境内的企业、个体经济组织、民办非企业单位等组织（以下称用人单位）与劳动者建立劳动关系，订立、履行、变更、解除或者终止劳动合同，适用本法。

国家机关、事业单位、社会团体和与其建立劳动关系的劳动者，订立、履行、变更、解除或者终止劳动合同，依照本法执行。