在公司宣告破产之后，对于其遗留下来的债务问题，有诸多妥善处理的办法可以参考。

首要的一步是，该公司应动用所有可支配的财产来清偿债务。

在这个清理过程中，依据法律规定的清偿次序加以执行，即优先支付清算所需的相关费用、员工的薪酬福利、社会保障基金以及法定赔偿金等款项，随后再向税务机关缴纳拖欠的税款，最后才是偿还公司的各项债务。

其次，若公司的现有资产无法完全覆盖所有的债务，那么在这种情况下，有限责任公司的股东将仅需以他们各自认缴的出资额为上限，对公司的债务承担相应的责任；

而对于股份有限公司的股东来说，他们则只需以他们所认购的股份为上限，对公司的债务承担相应的责任。

除此之外，在特定的情形下，股东们还可能需要对公司的债务承担连带责任，例如当股东滥用公司法人的独立地位和股东的有限责任，以此来逃避债务，并给公司债权人带来了严重损失时。

《中华人民共和国公司法》第三条

公司是企业法人，有独立的法人财产，享有法人财产权。公司以其全部财产对公司的债务承担责任。有限责任公司的股东以其认缴的出资额为限对公司承担责任；股份有限公司的股东以其认购的股份为限对公司承担责任。