孩子没断奶可以放弃抚养权。法律规定一方如果有严重疾病、吸毒、家暴、虐待儿童等不利于孩子身心健康成长的，另一方要求变更孩子抚养权应给予支持。双方可以先协议商定，协议不了的可以上诉法院。子女在两周岁以内，一般是由女方抚养。无论孩子的抚养权归谁，父母双方都有抚养和教育孩子的义务。

如何放弃孩子抚养权

子女抚养权可通过协议方式放弃。但仅能放弃直接抚养权，不能放弃抚养义务，且不能双方均放弃抚养权。抚养权的一般确认方式为，不满两周岁的子女，以由母亲直接抚养为原则。已满两周岁的子女，父母双方对抚养问题协议不成的，由人民法院根据双方的具体情况，按照最有利于未成年子女的原则判决。

《最高人民法院关于适用《中华人民共和国民法典》婚姻家庭编的解释（一）》

第五十六条具有下列情形之一，父母一方要求变更子女抚养关系的，人民法院应予支持：

（一）与子女共同生活的一方因患严重疾病或者因伤残无力继续抚养子女；

（二）与子女共同生活的一方不尽抚养义务或有虐待子女行为，或者其与子女共同生活对子女身心健康确有不利影响；

（三）已满八周岁的子女，愿随另一方生活，该方又有抚养能力；

（四）有其他正当理由需要变更。

第五十七条父母双方协议变更子女抚养关系的，人民法院应予支持。