孩子生下来，母亲可以拥有抚养权。因为抚养权属于法定权利，母亲和孩子之间的关系，不会因为父母的离婚而消除。离婚后，即使子女没有交由母亲直接抚养，母亲也仍然对子女有抚养的义务，也需要支付抚养费。母亲对孩子仍然有抚养、教育、保护的权利和义务。

母亲死后，可以立遗嘱有孩子的抚养权吗

监护权是指父母对子女的一种人身权利，即抚养子女的权利。父母去世后，子女的抚养权应先归祖父母，后归兄弟姐妹，再归其他近亲属、朋友，再归父母所在单位或居住地村委会。母亲死亡时，子女的抚养权归父亲所有，但负担得起抚养权的祖父母、外祖父母可以为父母已经死亡或者父母无力赡养的未成年孙辈、孙子孙女主张孙子孙女的抚养权。

《中华人民共和国民法典》第一千零八十四条父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论由父或者母直接抚养，仍是父母双方的子女。

离婚后，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。

离婚后，不满两周岁的子女，以由母亲直接抚养为原则。已满两周岁的子女，父母双方对抚养问题协议不成的，由人民法院根据双方的具体情况，按照最有利于未成年子女的原则判决。子女已满八周岁的，应当尊重其真实意愿。