一、哪些情形检察院告知公安机关对犯罪嫌疑人终止侦查

1、对于有犯罪事实需要追究刑事责任，但不是被立案侦查的犯罪嫌疑人实施，或者共同犯罪案件中部分犯罪嫌疑人不负刑事责任，人民检察院作出不批准逮捕决定的，应当同时告知公安机关对有关犯罪嫌疑人终止侦查。

2、法律依据：《人民检察院刑事诉讼规则》第二百八十七条

二、公安机关侦查终结的处理

侦查终结是指侦查机关对于自己立案侦查的案件，经过一系列的侦查活动，根据已经查明的事实和证据，依照法律规定，足以对案件作出起诉，不起诉或者撤销案件的结论，并对犯罪嫌疑人作出处理的一种诉讼活动。

根据刑事诉讼法的规定，侦查终结的案件，应当根据案件的不同情况，分别作出移送审查起诉或者撤销案件的处理决定。

公安机关侦查终结的案件，如果犯罪事实清楚，证据确实、充分，应当写出“起诉意见书”，连同案卷材料、证据一并移送同级人民检察院审查决定，若该案应由上级或同级其他人民检察院审查起诉的，也先移至检察院，由检察院审查决定。对于犯罪情节轻微，依法不需要判处刑罚或可以免除刑罚的，公安机关在移送起诉时，可以注明具备不起诉条件，由人民检察院审查决定起诉或者不起诉。对于侦查中发现犯罪嫌疑人的行为不构成犯罪或者有其他依法不应追究刑事责任的情况的，应当做出撤销案件的决定并制作撤销案件决定书，犯罪嫌疑人已被逮捕的，应当立即释放，发给释放证明，并通知原批准逮捕的人民检察院。