首先，我们需要注意到，如果在事件发生后选择了私下解决但并未报告给警方，那么之后是否愿意履行赔偿责任将取决于是否存在欺诈或胁迫等违规操作。

在此情况下达成的口头协议若不牵涉这些行为，则可以被视为双方具有真实意愿的体现，并不违反任何法律或法规中的强制性条款，因此完全具备法律效力。

然而，一旦赔偿方未能按照约定行事，权益受损者有权对此提出异议，敦促对方承担相应的赔偿责任。

其次，即使在当初选择不报警并以私人方式解决问题时，如果肇事者的行为符合刑法所规定的构成要件，例如在驾驶过程中违反相关道路交通法规，并导致极为严重的后果，那么此类行为很有可能触犯交通肇事罪。

《道路交通安全法实施条例》第八十七条

非机动车与非机动车或者行人在道路上发生交通事故，未造成人身伤亡，且基本事实及成因清楚的，当事人应当先撤离现场，再自行协商处理损害赔偿事宜。当事人对交通事故事实及成因有争议的，应当迅速报警。