根据《道路交通安全法》第四十七条规定：对交通事故损害赔偿的争议，当事人可以请求公安机关交通管理部门调解，也可以直接向人民法院提起民事诉讼。经公安机关交通管理部门调解，当事人未达成协议或调解书生效后不履行的，当事人可以向人民法院提起民事诉讼。因此，交通事故达成调解书后，事故双方都可以向法院提起诉讼。由公安交管部门调解赔偿，不是解决交通事故损害赔偿争议的必经程序，也不是诉讼的前置程序。调解协议不具有法律上的强制力，靠双方自觉履行，其中任何一方不履行或不完全履行，各方当事人均可向人民法院提起诉讼。

一、相关法律规定

根据《道路交通安全法》第七十四规定，对交通事故损害赔偿的争议，当事人可以请求公安机关交通管理部门调解，也可以向人民法院直接提起民事诉讼。经公安机关交通管理部门调解，当事人未达成协议或调解书生效后不履行的，当事人可以向人民法院提起民事诉讼。

根据《道路交通安全法实施条例》第九十四条规定：当事人对交通事故损害赔偿有争议，各方当事人一致请求公安机关交通管理部门调解，应当在收到交通事故认定书之日起10日内提出书面调解申请。交通事故致死的，调解从办理丧葬事宜结束之日起开始；对交通事故致伤的，调解从治疗终结或定残之日起开始；对交通事故造成财产损失的，调解从确定损失之日起开始。