若保险公司对索赔作出的处理不合乎常情或无法让投保人、被保人或受益人满意，他们可遵循以下步骤向人民法院进行起诉：

1．在法律规定的时效期限内发起申诉（关于民事诉讼，其有效期限为三年，自权益所有者知晓或应该知晓自己的权益受到了侵害及责任人之日开始计算）；

2．向具有管辖权的人民法院提交申诉申请（对于因合同纠纷引发的诉讼，应向被告所在地或合同履行地的人民法院提出申诉）；

3．向人民法院递交申诉状，同时按照被告的数量提供相应份数的副本。申诉状中需明确记载如下事项：

（1）原告的基本信息（包括自然人的姓名、性别、年龄、民族、职业、所在单位、居住地址、联系方式，以及法人的名称、住所和法定代表人或主要负责人的姓名、职务、联系方式等）；

（2）被告的基本信息（如保险公司的名称、住所和法定代表人或主要负责人的姓名、职务、联系方式等）；

（3）申诉的具体要求和所依据的事实与理由（例如，要求重新进行理赔或补充赔偿。事实与理由部分应依据详细内容如实填写）；

（4）相关证据及其来源，以及证人的姓名和住址（证据类型包括但不限于视听资料、电子数据、证人证言、当事人陈述、书证、物证、鉴定意见、勘验笔录等）。

《中华人民共和国民法典》第一百八十八条

向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。法律另有规定的，依照其规定。

诉讼时效期间自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。法律另有规定的，依照其规定。但是，自权利受到损害之日起超过二十年的，人民法院不予保护，有特殊情况的，人民法院可以根据权利人的申请决定延长。