我国的民法典规定，通常情况下，孩子生下来，母亲可以拥有抚养权。因为抚养权属于法定权利，母亲和孩子之间的关系，不会因为父母的离婚而消除。离婚后，即使子女没有交由母亲直接抚养，母亲也仍然对子女有抚养的义务，也需要支付抚养费。母亲对孩子仍然有抚养、教育、保护的权利和义务。

母亲有案底还能争夺孩子抚养权吗

根我国相关法律规定，一方在监狱服刑的，其民事权利不可剥夺，因此有权争取孩子的监护权，法院将根据具体情况决定监护权归属。但是由于囚犯的自由受到限制，他们可以暂时由对方抚养。离婚家庭的子女是与父亲同住，还是与母亲同住，可以在离婚时协商决定。如果双方协议离婚，离婚协议应明确规定子女与哪一方共同生活。

《中华人民共和国民法典》第一千零八十四条【离婚后的父母子女关系】父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论由父或者母直接抚养，仍是父母双方的子女。

离婚后，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。

离婚后，不满两周岁的子女，以由母亲直接抚养为原则。已满两周岁的子女，父母双方对抚养问题协议不成的，由人民法院根据双方的具体情况，按照最有利于未成年子女的原则判决。子女已满八周岁的，应当尊重其真实意愿。