承租人可继续居住。租赁合同中有一个法律制度叫“买卖不破租赁”，买卖不破租赁是指当出租人在租赁合同有效期内将租赁物的所有权转让给他人时，租赁合同对新的所有人有效，承租人对租赁物的占有使用可以对抗第三人，即使是该租赁物所有权人或享有其他物权的人也不例外。

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1、如果没有其他共有人，且只有一名子女的话，到公证处办理继承权公证，然后继承人持公证书办理过户登记。

2、如果有其他共有人，还需共有人办理赠与公证，将其拥有的房产份额赠与给继承人和共有继承人，持继承权公证、赠与公证办理过户。

3、如果老人有多名子女，或其配偶健在的话，除法定继承人之外的其他第一顺序继承人还需要办理放弃继承权公证，然后继承人持继承权公证、放弃继承权公证等办理过户。如果涉及赠与的话，需要交纳的税费就比较多了，大概有契税、印花税、个人所得税、土地增值税等，公证处和房管局还要收取相应的公证费和房产过户的费用。

《中华人民共和国民法典》

第七百零七条租赁期限六个月以上的，应当采用书面形式。当事人未采用书面形式，无法确第七百零七条租赁期限六个月以上的，应当采用书面形式。当事人未采用书面形式，无法确定租赁期限的，视为不定期租赁。定租赁期限的，视为不定期租赁。

第七百一十条承租人按照约定的方法或者根据租赁物的性质使用租赁物，致使租赁物受到损耗的，不承担赔偿责任。

第七百一十五条承租人经出租人同意，可以对租赁物进行改善或者增设他物。承租人未经出租人同意，对租赁物进行改善或者增设他物的，出租人可以请求承租人恢复原状或者赔偿损失。