一、关于保外就医人员逃跑后，保证人所应承担的法律责任如下：

首先，如若保证人未能履行其担保承诺，将面临罚款处罚；

情节恶劣或数额巨大者，甚至可能触犯刑事法律法规，须接受更严厉的刑事追责。

反之，如若保证人严格按规定履行了自身担保责任，依据相关法律原则允许，无法推定为其未能尽责造成，那么保证人可免除任何责任。

二、为了成为合法有效的保证人，必须具备以下几个条件：

首先，自身必须拥有完整的民事行为能力，而且愿意承担相应的保证责任；

其次，人身自由不受任何形式的限制；

再者，需保持稳定的居所及收入来源；

最后，要有实力与被保证人共同居住或在同一城区、县内居住。

三、所谓“保外就医”，通常指的是罪犯因为严重疾病缠身，而依照国家法律及政策规定，经过司法部门批准后前往指定医院享受临时性额外救治的刑罚执行方式。

《暂予监外执行规定》第十二条

罪犯在暂予监外执行期间，保证人应当履行下列义务：

（一）协助社区矫正机构监督被保证人遵守法律和有关规定；

（二）发现被保证人擅自离开居住的市、县或者变更居住地，或者有违法犯罪行为，或者需要保外就医情形消失，或者被保证人死亡的，立即向社区矫正机构报告；

（三）为被保证人的治疗、护理、复查以及正常生活提供帮助；

（四）督促和协助被保证人按照规定履行定期复查病情和向社区矫正机构报告的义务。