根据劳动合同法的规定，劳动者入职一个月之内，用人单位必须与劳动者签订书面劳动合同，如果没有签订书面劳动合同的，应当支付劳动者双倍工资，满一年未签订劳动合同的视为签订了无固定期限劳动合同。劳动争议案件的诉讼时效为一年，现在你已经工作了九年，诉讼时效已过，所以你主张未签订劳动合同双倍工资差额将不会得到支持。但也正是因为单位没有跟你签订劳动合同，所以从你入职的第二年开始，就已经和单位实际上签订了一份无固定期限的劳动合同，在你没有重大违纪的情况下，单位是不能单方面和你解除劳动关系的。如果单位要当要解除劳动关系，需要先与你协商，协商一致之后方可解除劳动合同，并支付解除劳动合同经济补偿金，否则单位将是违法解除，需要支付两倍的经济补偿金，即违法解除劳动合同赔偿金。当然，如果单位没有为你缴纳社保，你也可以以此为由向单位提出离职，单位仍需要支付你解除劳动合同经济补偿金。如果你需要单位为你补缴社保的话，因补交社保而产生的纠纷，劳动仲裁和法院均不予受理，所以你只能向劳动监察部门投诉。
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未签劳动合同离职后是可以要求赔偿的。用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。
公司未签订劳动合同的赔偿：公司在未签订书面劳动合同的情形下，应当支付劳动者双倍工资作为赔偿。但是由于用人单位在日常工作中已经支付劳动者一倍工资，所以劳动者只能主张用人单位支付双倍工资的差额。
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