首先，劳动者自工作一个月内，必须签订书面的劳动合同，若未签，从第二个月开始计算双倍工资（最多计算11个月），若1年内未签书面劳动合同，视为无固定期限劳动合同。其次，缴纳社保是用人单位的法定义务，自用工的第一个月开始就应当缴纳社会保险。可以要求用人单位补交，但劳动者需要自己缴纳个人承担的部分。最后，即便签署书面的劳动合同，也可以提前1个月通知用人单位解除劳动合同。祝你工作愉快。
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上班半个月没有签订劳动合同的，并没有违反劳动合同法的规定，如果上班一个月后还没有签订劳动合同的，就是违法行为。所以建立劳动关系半个月没签订合同的，不能擅自离职。
我国法律规定，已建立劳动关系，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，如果入职半个月没有签订劳动合同并没有违反我国劳动合同法的相关规定。
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