如果在同一地市就业的话，原单位劳动合同未解除的情况，就代表原单位在法律上还付有为职工缴纳社保的责任与义务。这种情况下，现单位自然不能跟劳动者签订新的劳动合同，也就没办法办理社会保险。而且，如果原单位不做保险减员的情况下，新单位也没办法为员工做保险增员。 如果劳动者跨省就业的情况下，原单位合同不解除不影响在新地市办理社保缴纳手续，但是新单位一般为了避免新入职员工与原单位存在劳动纠纷的情况出现，一般都要求劳动者提供与原单位劳动合同解除证明。
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单位名称变更劳动合同签订日期还是原来的可以。用人单位变更名称、法定代表人、主要负责人或者投资人等事项，不影响劳动合同的履行。
有影响，如果原单位和劳动者约定在合同期限内不得从事其他工作，即有不准兼职或有竞业限制的规定，那么原单位有权解除合同，或按合同约定要求赔偿损失。
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