首先，根据《劳动合同法》第二条规定，中华人民共和国境内的企业、个体经济组织、民办非企业单位等组织(以下称用人单位)与劳动者建立劳动关系，订立、履行、变更、解除或者终止劳动合同，适用本法。国家机关、事业单位、社会团体和与其建立劳动关系的劳动者，订立、履行、变更、解除或者终止劳动合同，依照本法执行。因此，你们的问题可以适用劳动合同法相关规定。对方的理由并不成立。你们虽然未签订书面劳动合同，但是已经与用人单位存在事实劳动关系。其次，用人单位未签订书面劳动合同及未缴纳社保的问题，您及您爱人可以要求主张双倍工资及经济补偿金。根据《劳动合同法》第八十二条规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。除此之外，根据《劳动合同法》第四十六条规定，有下列情形之一的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿：(一)劳动者依照本法第三十八条规定解除劳动合同的；(二)用人单位依照本法第三十六条规定向劳动者提出解除劳动合同并与劳动者协商一致解除劳动合同的；(三)用人单位依照本法第四十条规定解除劳动合同的；(四)用人单位依照本法第四十一条第一款规定解除劳动合同的；(五)除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，依照本法第四十四条第一项规定终止固定期限劳动合同的；(六)依照本法第四十四条第四项、第五项规定终止劳动合同的；(七)法律、行政法规规定的其他情形。第四十七条规定，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。本条所称月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。因此，您和您爱人可以要求支付经济补偿金，您可以要求支付15个月工资，您的爱人吴某可以要求支付9个月的工资。再次，本案对方如果不予支付，那么您及爱人可以向用人单位所在地的劳动仲裁委员会申请仲裁。需要准备的材料是：1、证明存在事实劳动关系的材料；2、工资发放记录；4、相关录音、短信、书面资料，证明您及爱人与对方存在劳动关系。最后，必要时您可以申请法律援助，是不要支付费用的，这个您可以到当地司法厅去咨询，寻求帮助，争取权利。
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当然可以。用人单位与劳动者不签订劳动合同，不给劳动者劳动合同都是违法的。单位违反规定解除劳动合同的，应当给予补偿。用人单位和劳动者各持一份劳动合同。用人单位给的劳动合同文本不含本法规定的劳动合同必备条款，或者用人单位未向劳动者交付劳动合同文本的。
当然可以。用人单位与劳动者不签订劳动合同，不给劳动者劳动合同都是违法的。单位违反规定解除劳动合同的，应当给予补偿。用人单位和劳动者各持一份劳动合同。用人单位给的劳动合同文本不含本法规定的劳动合同必备条款，或者用人单位未向劳动者交付劳动合同文本的。
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