首先，当双方对于工程承揽合同产生争执并寻求解决方式时，他们有权选择采取自行协商以实现和解，或者利用第三方的力量来进一步调解这一问题。

其次，倘若工程承揽合同的当事人不愿采用和解或调解这样的方式解决问题，或者经过这些尝试之后依旧无法达成共识，那么他们可以依据先前签订的仲裁协议，将相关的合同争议提交给仲裁机构进行仲裁处理。

最后，若工程承揽合同的当事人在合同中未曾约定仲裁条款，或者在争议发生后未能就仲裁事宜达成书面协议，抑或是已有的仲裁协议被认定为无效，那么无论是合同的哪一方当事人，甚至是涉及到国际合同关系的当事人，均有权利向当地的人民法院提起诉讼程序。

《民事诉讼法》第237条对依法设立的仲裁机构的裁决，一方当事人不履行的，对方当事人可以向有管辖权的人民法院申请执行。受申请的人民法院应当执行。