依据《民诉法》及相关的司法解释，如果申请再审时原告死亡的，如果原告没有继承人或者继承放弃继承的情况下，案件将终结。

根据《民事诉讼法》第一百五十条、第一百五十一条，和《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民事诉讼法〉的解释》第二百四十九条、第二百五十条的规定，在再审审理过程中，如果当事人死亡的，应中止审理，并根据继承人表明是否参加诉讼的情况来决定是否继续审理：

如果是再审的申请人死亡，且没有继承人，或者继承人放弃诉讼权利的，则终结再审诉讼，不再继续再审；如果继承人参加诉讼的，则裁定变更申请人后继续审理；

如果是被申请人死亡，没有遗产，也没有应当承担义务的人的，则终结诉讼，不再再审；

如果有其他应承担债务和人的，则也裁定变更被申请人后再继续进行审理。