首先，当涉及到尚未正式生效的初始审判决定时，他们可在规定的上诉期限内（民事诉讼程序中，法定的上诉期设定为15日；而在刑事讼案当中，此期限则被设定为10日）向更高级别的法院提起上诉。

然后，在接收到上一层级法院的相关裁决之后，上级法院便会重新对争议事项进行深入审查并作出新的判决。

其次，若所面临的问题已经经过了初次审判或者二次审判的严格审批，当事人仍有可能通过合理合法的途径来寻求法律救助。

例如，他们可以依法向法院申请启动再审程序，或向上诉至检察院，请求其提出抗诉来挑战原有的判决结果。

《民事诉讼法》第一百六十四条

当事人不服地方人民法院第一审判决的，有权在判决书送达之日起十五日内向上一级人民法院提起上诉。

第一百九十九条

当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，认为有错误的，可以向上一级人民法院申请再审；当事人一方人数众多或者当事人双方为公民的案件，也可以向原审人民法院申请再审。

第二百零八条

最高人民检察院对各级人民法院已经发生法律效力的判决、裁定，上级人民检察院对下级人民法院已经发生法律效力的判决、裁定，发现有本法第二百条规定情形之一的，或者发现调解书损害国家利益、社会公共利益的，应当提出抗诉。