关于父母未履行抚养责任是否会牵涉到刑事责任这一问题，答案取决于是否构成了遗弃罪。

通常情况下，若父母并没有能力支付相关费用或提供适当的照顾时，他们可能无法成为罪犯，但这种情况并不意味着他们有过错或者不应该承担任何法律责任。

然而，当父母具备抚养孩子的经济和精神条件却选择拒绝抚养或是施行遗弃行为从而导致孩子遭受重伤甚致死亡等严重后果；

让孩子因为无处可去而流浪街头，不得不依靠乞讨为生；

鉴于遗弃导致孩子无力活下去最终选择自杀；

尽管经过多次劝诫，犯罪者依然拒绝改变其行为，进一步加剧受害者的生存困境；

以及遗弃行为极其恶劣，例如伴随殴打、虐待等行为发生的遗弃等情况均有可能触犯遗弃罪，此时，父母将涉嫌刑事犯罪，并面临相应的刑事处罚。

《刑法》第二百六十一条

对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的，处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。