一、债务人死亡后该由谁来代表其起诉责任

债务人死亡，起诉的对象：

1．死亡债务人的配偶；

2．死亡债务人的继承人；

3．该债务的保证人。

债务人死亡后的被告，一般是具有承担该债务责任的人。如果该债务是夫妻共同债务，则由债务人的配偶承担其死亡后的债务；如果有继承人或保证人的，则由债务人的继承人或保证人承担责任。

二、债务人死亡的债务如何去处理

债务人死亡其债务的处理方式为：由继承人在继承的遗产范围内偿还，但是超出遗产范围的债务继承人不需要偿还，如果继承人放弃继承，则也不需要对被继承人的债务承担偿还责任。

《民法典》

第一千一百六十一条

继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。超过遗产实际价值部分，继承人自愿偿还的不在此限。

继承人放弃继承的，对被继承人依法应当缴纳的税款和债务可以不负清偿责任。

第一千一百六十二条

执行遗赠不得妨碍清偿遗赠人依法应当缴纳的税款和债务。

三、债务人死亡后遗产债务涉及哪些范围

所谓遗产债务是指被继承人死亡时尚欠的税款、债务。从实践中发生的情况来看，遗产债务主要包括以下几类：

1．被继承人生前依照我国税法规定应当缴纳的税费；

2．被继承人因合同之债所欠下的债务；

3．被继承人因侵权行为而应承担的损害赔偿；

4．被继承人因不当得利而承担返还不当得利的债务；

5．被继承人因他人无管理而应承担的费用；

6．其他个人债务。

《中华人民共和国民法典》：第四章　遗产的处理　　第一千一百六十二条　执行遗赠不得妨碍清偿遗赠人依法应当缴纳的税款和债务。