母亲丢下孩子给孩子父亲一般不构成犯罪。根据民法典婚姻家庭编的规定，父母对子女有父母有教育、保护未成年子女的权利和义务，所以母亲丢下孩子的行为是违反法律的，但不构成遗弃罪。遗弃行为情节恶劣才构成犯罪，例如由于遗弃而致被害人重伤、死亡的；被害人因被遗弃而生活无着，流离失所，被迫沿街乞讨的等。若孩子父亲具有抚养能力，则母亲不构成遗弃罪

一、遗弃罪的立案标准有哪些

遗弃罪的立案标准为对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的。根据司法实践经验，遗弃行为情节恶劣是指：由于遗弃而致被害人重伤、死亡的；被害人因被遗弃而生活无着，流离失所，被迫沿街乞讨的等。

二、遗弃子女起诉需要什么样的证据

遗弃子女起诉需要的证据有：由于遗弃而致被害人重伤、死亡的;被害人因被遗弃而生活无着，流离失所，被迫沿街乞讨的;因遗弃而使被害人走投无路被迫自杀的;行为人屡经教育，拒绝改正而使被害人的生活陷一危难境地的;遗弃手段十分恶劣的，如在遗弃中又有打骂、虐待行为的等等。