围绕不抚养孩子引起的诉讼罪名是遗弃罪，遗弃罪是指对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的行为。因而可围绕对方拒绝抚养，情节恶劣等方面来举证。

《中华人民共和国民事诉讼法》第五章规定

第六十四条当事人对自己提出的主张，有责任提供证据。

当事人及其诉讼代理人因客观原因不能自行收集的证据，或者人民法院认为审理。

案件需要的证据，人民法院应当调查收集。

人民法院应当按照法定程序，全面地、客观地审查核实证据。

第六十五条当事人对自己提出的主张应当及时提供证据。

第六十六条人民法院收到当事人提交的证据材料，应当出具收据，写明证据名称、页数、份数、原件或者复印件以及收到时间等，并由经办人员签名或者盖章。