人贩子拐卖儿童应该要追究的刑事责任有：构成拐卖儿童罪的，一般应追究其应处五年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；如果是集团的首要分子，或拐卖三人以上儿童，或存在以出卖为目的绑架儿童、致被拐卖儿童或其亲属死亡或重伤、将被拐卖儿童卖往境外等特别严重情节的，应追究其应处死刑并处没收财产。

不解救被拐卖儿童罪既遂可以追究什么刑事责任？

依据《中华人民共和国刑法》第四百一十六条规定，对被拐卖、绑架的妇女、儿童负有解救职责的国家机关工作人员，接到被拐卖、绑架的妇女、儿童及其家属的解救要求或者接到其他人的举报，而对被拐卖、绑架的妇女、儿童不进行解救，造成严重后果的，处五年以下有期徒刑或者拘役。

《刑法》第二百四十条

拐卖妇女、儿童的，处五年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；有下列情形之一的，处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金或者没收财产；情节特别严重的，处死刑，并处没收财产：

（一）拐卖妇女、儿童集团的首要分子；

（二）拐卖妇女、儿童三人以上的；

（三）奸淫被拐卖的妇女的；

（四）诱骗、强迫被拐卖的妇女卖淫或者将被拐卖的妇女卖给他人迫使其卖淫的；

（五）以出卖为目的，使用暴力、胁迫或者麻醉方法绑架妇女、儿童的；

（六）以出卖为目的，偷盗婴幼儿的；

（七）造成被拐卖的妇女、儿童或者其亲属重伤、死亡或者其他严重后果的；

（八）将妇女、儿童卖往境外的。